新しい"解の公式"の導き方

こんばんは。11時までかかったけど、データ移行作業が完了したgendです。

内輪ネタでで恐縮ですが、
中1である私の姪の学期末テストの成績が恐ろしいほど低かったらしく、
確認はしてないが、クラス最下位じゃないかという話を聞きました。

塾に通っているというのに、全然意味無いじゃん！
これまでは点数が低くても全然気にしてなかったようなのですが、
さすがに今回の結果を受けてやっと危機感を感じたようです。

話では塾を替えるということなのですが、
本人が勉強大嫌いの性格なので、塾を替えても同じだと思うんですが…。
結局本人がやる気にならなければ。塾はあくまでも補佐的に考えるべきでしょうよ。


で、そんな話を聞いて中学校の勉強内容を思い返してみたんですが、
真っ先に思いついたのが、二次方程式の「解の公式」でした。

あ～そんなのあったなぁって人、結構いると思います。
今でも解の公式をすぐに言えますか？

「そんなの楽勝だよ」と思っているそこのあなた。
では、その解の公式を導くことは出来ますか？
ax²+bx+c=0（a≠0）を、xについて式を変形できますか？

私ですか？いいえ、挑戦しましたが出来ませんでした。
なんとなくうろ覚えというか「こんな感じ」というのはあったんですが、
それを具体的に式にすることができず、結局ギブアップ。


やむを得ずネットで導き方を調べてみると、
私がうろ覚えで記憶していたものよりも、
よりスマートで、忘れにくい導き方があることを知りました。

私の憶えていた導き方は、係数cを右辺へ移項した後に両辺をaで割ります。
そこから（x+○）²=係数という形に導いて、左辺の2乗を取る、という方法です。
まさに教科書的というか、いかにもって感じの導き方です。

しかし、この導き方は途中で分数が絡んでくるので、
それが記憶を曖昧にさせていたんだと思います。
分数が計算式に入ってくるだけで面倒というイメージがありますからね。

で、そのスマートの方法というのは、最後にxについて解く直前まで、
分数が一切出てこないという素晴らしい方法です。
最初の時に「ある事」をすれば、あとは面白いように導けてしまうんです。


係数cを右辺に移行した後、つまりax²+bx=-c の両辺に4aをかける。
これだけです。


なぜ4a？という疑問はあると思いますが、
これで実際に解いてみて下さい。スッゲー簡単なんです！
私も実際にやってみたらあまりのスマートさにマジで驚きました。

解の公式を導くためには、まず（x+○）²=係数という形にしてやることが重要。
従来の教科書的な導き方だと「○=b/2a」なんですね。
それを分数にしないようにするための工夫が、この4aをかけることなんだと思いました。

実際に4aをかけてみると、最終的に（2ax+b）²=b²-4ac という形に変えられます。
あとは2乗を取ってb²を右辺へ移項、最後に両辺を2aで割れば完了です。
2aで割る直前まで分数になっていないのが実に素晴らしい！エレガント！

これなら解の公式を忘れても簡単に導くことが出来ますね！
こんな素晴らしい方法をなぜ教科書では教えないんでしょうか？
しかもこの導き方は10～11世紀あたりに既に見つかっているそうじゃないですか。

一人で勝手に感動して興奮した夜でした（笑）